Calcule o seguinte limite, caso exista:
lim (x, y) (0,0) y^4x^2+y^4 arctan (xy)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y)to(0,0) da função
f(x,y)=y^4x^2+y^4;arctan!l(tfracxyr)
O conteúdo envolvido é cálculo de limite em duas variáveis e vamos usar desigualdades para controlar a expressão e mostrar que tende a zero.

Passo 2

Usamos a propriedade da função arco-tangente: para todo real u vale
|arctan(u)| <= |u|
Tomando u=tfracxy, temos
l|f(x,y)r|;=;y^4x^2+y^4;l|arctan(tfracxy)r| ;<=;y^4x^2+y^4;l|tfracxyr| ;=;|x|,y^3x^2+y^4

Passo 3

Para estimar |x|,y^3x^2+y^4 usamos a desigualdade de AM–GM:
x^2+y^42;>=;raizx^2,y^4=|x|,y^2 Longrightarrow x^2+y^4;>=;2,|x|,y^2
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|x|,y^3x^2+y^4 ;<=; |x|,y^32,|x|,y^2 =y2

Passo 4

Juntando tudo, encontramos
l|f(x,y)r|<=y2,
e como tfracy2to0 quando (x,y)to(0,0), o teorema do sanduíche garante que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

Resposta

0

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