Calcule o seguinte limite, caso exista:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da função
O conteúdo envolvido é cálculo de limite em duas variáveis e vamos usar desigualdades para controlar a expressão e mostrar que tende a zero.
Passo 2
Usamos a propriedade da função arco-tangente: para todo real
vale
Tomando
, temos
Passo 3
Para estimar
|x|,y^3x^2+y^4 usamos a desigualdade de AM–GM:
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Passo 4
Juntando tudo, encontramos
e como
tfracy2to0 quando
(x,y)to(0,0) , o teorema do sanduíche garante que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 .