Nos problemas de 26 a 27, encontre I(12) e Gamma(112).
26. A Função Gama. A função gama é denotada por Gamma(p) e definida pela integral
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x

Passo 1

O enunciado define a função Gama por
Gamma(p+1)=integral0^inftye^-xx^p,dx
e pede dois cálculos:
  1. Il(tfrac12r)=integral0^inftye^-xx^1/2,dx.
  2. Gammal(tfrac112r).
    Para isso vamos usar a propriedade de redução
Gamma(p+1)=p,Gamma(p)
e o valor conhecido
Gammal(tfrac12r)=raizpi

Passo 2

Calcular Il(tfrac12r):
Por definição
Il(tfrac12r) =integral0^inftye^-xx^1/2,dx =Gammal(tfrac32r)
Usando a redução com p=tfrac12:
Gammal(tfrac32r) =tfrac12,Gammal(tfrac12r) =tfrac12,raizpi

Passo 3

Calcular Gammal(tfrac112r) por reduções sucessivas:
Gammal(tfrac112r) =tfrac92,Gammal(tfrac92r) =tfrac92cdottfrac72,Gammal(tfrac72r) =tfrac92cdottfrac72cdottfrac52,Gammal(tfrac52r)
=tfrac92cdottfrac72cdottfrac52cdottfrac32,Gammal(tfrac32r) =tfrac92cdottfrac72cdottfrac52cdottfrac32cdottfrac12,Gammal(tfrac12r)
Substituindo Gamma(tfrac12)=raizpi obtemos
Gammal(tfrac112r) =9cdot7cdot5cdot3cdot12^5,raizpi =94532,raizpi

Resposta

Il(tfrac12r)=tfrac12raizpi
Gammal(tfrac112r)=tfrac94532raizpi

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