Calcule o seguinte limite, caso exista:
Passo 1
O enunciado pede o limite de
quando
. O tema é limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para investigar se esse limite existe.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
onde
e
é o ângulo. Substituindo na expressão, obtemos
Passo 3
Para
com
fixo, o fator
permanece constante, mas
oscila entre
e
sem convergir. Logo o produto
oscila entre
e
. Em particular, se
, temos
e a expressão oscila entre
e
.
Passo 4
Como para direções diferentes (ou mesmo para a mesma direção) a expressão não tende a um único valor, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.