Calcule o seguinte limite, caso exista:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2 sen(1x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite de
x,yx^2+y^2;sin!l(1x^2+y^2r)
quando (x,y)to(0,0). O tema é limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para investigar se esse limite existe.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, x^2+y^2=r^2,
onde r>=0 e theta é o ângulo. Substituindo na expressão, obtemos
x,yx^2+y^2;sin!l(tfrac1x^2+y^2r) = (rcostheta)(rsintheta)r^2;sin!l(tfrac1r^2r) = costheta,sintheta;sin!l(tfrac1r^2r)

Passo 3

Para rto0 com theta fixo, o fator costheta,sintheta permanece constante, mas sin(1/r^2) oscila entre -1 e +1 sem convergir. Logo o produto
costheta,sintheta;sin!l(tfrac1r^2r)
oscila entre -|costheta,sintheta| e +|costheta,sintheta|. Em particular, se theta=pi/4, temos costheta,sintheta=1/2 e a expressão oscila entre -1/2 e +1/2.

Passo 4

Como para direções diferentes (ou mesmo para a mesma direção) a expressão não tende a um único valor, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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