Nos problemas de 26 a 27, encontre I(12) e Gamma(112).
(a) Mostre que, para p>0,
Gamma(p+1)=p Gamma(p)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar $ I\left(\frac{1}{2}\right) $ e $ \Gamma\left(\frac{11}{2}\right) $. Além disso, temos que mostrar que, para qualquer $ p > 0 $,
I(12)
A gente vai usar o conteúdo sobre a Função Gamma, que é uma extensão do fatorial para números reais e complexos. Vamos precisar das propriedades básicas dessa função para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $. A função Gamma para $ \frac{1}{2} $ é conhecida e tem um valor especial. De fato, sabemos que:
Gamma(12)
Isso porque a função Gamma está relacionada à integral da função exponencial com potência fracionária, e no caso de $ \frac{1}{2} $, ela resulta na raiz de pi.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \Gamma\left(\frac{11}{2}\right) $. Para isso, vamos usar a propriedade que a gente precisa demonstrar:
Gamma(112)
Essa é uma relação de recorrência da função Gamma, que nos permite calcular $ \Gamma $ de números maiores a partir de valores menores.

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade repetidamente para reduzir $ \Gamma\left(\frac{11}{2}\right) $ a termos que já conhecemos. Começamos com $ p = \frac{9}{2} $:
Gamma(112)
Depois, aplicamos novamente para $ \Gamma\left(\frac{9}{2}\right) $:
p = 92
Continuamos assim até chegar em $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $.

Passo 5

Fazendo todas as etapas, temos:
Gamma(112) = 92 cdot 72 cdot 52 cdot 32 cdot 12 Gamma(12)
Substituindo $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $ por $ \sqrt{\pi} $:
Gamma(12)
Calculando os números:
raizpi
Então:
Gamma(112) = 9 times 7 times 5 times 3 times 12^5 raizpi

Passo 6

Agora, vamos provar a propriedade $ \Gamma(p+1) = p \Gamma§ $ para $ p > 0 $.
Começamos lembrando a definição da função Gamma:
Gamma(p+1) = p Gamma(p)
Queremos mostrar que:
p > 0
Vamos calcular $ \Gamma(p+1) $:
Gamma(p) = integral0^infty t^p-1 e^-t , dt
Fazendo uma integração por partes, onde deixamos $ u = t^p $ e $ dv = e^{-t} dt $, obtemos:
Gamma(p+1) = p Gamma(p)
O primeiro termo $ \left[-t^p e{-t}\right]_0\infty $ é zero, então:
Gamma(p+1)
Isso confirma a propriedade que queríamos demonstrar.

Resposta

I(12) = raizpi e Gamma(112) = 94532 raizpi
Além disso, mostramos que para qualquer $ p > 0 $,
p > 0

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