Nos problemas de 26 a 27, encontre
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(a) Mostre que, para
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(a) Mostre que, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar $ I\left(\frac{1}{2}\right) $ e $ \Gamma\left(\frac{11}{2}\right) $. Além disso, temos que mostrar que, para qualquer $ p > 0 $,
A gente vai usar o conteúdo sobre a Função Gamma, que é uma extensão do fatorial para números reais e complexos. Vamos precisar das propriedades básicas dessa função para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $. A função Gamma para $ \frac{1}{2} $ é conhecida e tem um valor especial. De fato, sabemos que:
Isso porque a função Gamma está relacionada à integral da função exponencial com potência fracionária, e no caso de $ \frac{1}{2} $, ela resulta na raiz de pi.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \Gamma\left(\frac{11}{2}\right) $. Para isso, vamos usar a propriedade que a gente precisa demonstrar:
Essa é uma relação de recorrência da função Gamma, que nos permite calcular $ \Gamma $ de números maiores a partir de valores menores.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade repetidamente para reduzir $ \Gamma\left(\frac{11}{2}\right) $ a termos que já conhecemos. Começamos com $ p = \frac{9}{2} $:
Depois, aplicamos novamente para $ \Gamma\left(\frac{9}{2}\right) $:
Continuamos assim até chegar em $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $.
Passo 5
Fazendo todas as etapas, temos:
Substituindo $ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) $ por $ \sqrt{\pi} $:
Calculando os números:
Então:
Passo 6
Agora, vamos provar a propriedade $ \Gamma(p+1) = p \Gamma§ $ para $ p > 0 $.
Começamos lembrando a definição da função Gamma:
Queremos mostrar que:
Vamos calcular $ \Gamma(p+1) $:
Fazendo uma integração por partes, onde deixamos $ u = t^p $ e $ dv = e^{-t} dt $, obtemos:
O primeiro termo $ \left[-t^p e{-t}\right]_0\infty $ é zero, então:
Isso confirma a propriedade que queríamos demonstrar.
Resposta
Além disso, mostramos que para qualquer $ p > 0 $,