Nos problemas de 1 a 4, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe os gráficos da solução e do termo não-homogêneo; explique a relação entre eles.
2. y^prime prime+2 y^prime+2 y=h(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1;
h(t)= 1, & pi <= t<2 pi 0, & 0 <= t<pi e t >= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a solução de valor inicial da EDO
y''+2y'+2y = h(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde
h(t)= 1,&pi<= t<2pi, 0,&0<= t<pi e t>=2pi
O conteúdo é a resolução de EDO linear não-homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes usando a solução da homogênea e o método de Duhamel (ou convolução com a resposta ao impulso). Vamos precisar:
1. achar a solução homogênea,
2. expressar h(t) em termos de degraus unitários,
3. usar a fórmula de Duhamel para obter a parte particular,
4. avaliar a integral peça-por-peça conforme t cruza pi e 2pi.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y''+2y'+2y=0
A equação característica é
r^2+2r+2=0implies r=-1pm i
logo a solução geral é
yh(t)=e^-tl(Acos t + Bsin tr)
Impondo y(0)=0 e y'(0)=1:
yh(0)=A=0, yh'(t)=e^-t[(Bcos t -Asin t)- (Acos t+Bsin t)]implies yh'(0)=B=1
Assim
yh(t)=e^-tsin t

Passo 3

Escrevemos
h(t)=u(t-pi)-u(t-2pi),
onde u é o degrau unitário. Pela fórmula de Duhamel (convolução com g(t)=e^-tsin t), a parte particular é
yp(t)=integral0^th(tau),g(t-tau),dtau =integral0^tl[u(tau-pi)-u(tau-2pi)r],e^-(t-tau)sin(t-tau),dtau

Passo 4

Como u(tau-pi) ativa em tau>=pi e u(tau-2pi) em tau>=2pi, a integral reduz-se a
yp(t)=integralpi^min(t,2pi)e^-(t-tau)sin(t-tau),dtau
Assim a solução completa é
y(t)=yh(t)+yp(t) =e^-tsin t +integralpi^min(t,2pi)e^-(t-tau)sin(t-tau),dtau,
e precisamos avaliar esse integral em três casos: 0<= t<pi, pi<= t<2pi e t>=2pi.

Passo 5

Fazendo a mudança de variável u=t-tau, aliando a antiderivada
integral e^-usin u,du =-tfrac12e^-u(sin u+cos u)+C,
obtemos:
1. Se 0<= t<pi, o intervalo de integração é vazio e yp=0.
2. Se pi<= t<2pi, então tauin[pi,t] e uin[0,t-pi], logo
yp(t) =integral0^,t-pie^-usin u,du =tfrac12;-tfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r]
3. Se t>=2pi, então tauin[pi,2pi] e uin[t-2pi,t-pi], resultando em
yp(t) =l[Fl(t-pir)-Fl(t-2pir)r],
onde F(u)=tfrac12-tfrac12e^-u(sin u+cos u). Substituindo F e usando sin(t-2pi)=sin t, cos(t-2pi)=cos t, dá
yp(t) =tfrac12e^-(t-2pi)l[sin t+cos tr] -tfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r]

Passo 6

Portanto a solução peça-por-peça é
boxed y(t)= e^-tsin t,&0<= t<pi,[6pt] e^-tsin t +dfrac12 -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&pi<= t<2pi,[8pt] e^-tsin t +dfrac12e^-(t-2pi)l[sin t+cos tr] -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&t>=2pi ]

Passo 7

Gráfico de h(t): é zero até t=pi, vale 1 no retângulo pi<= t<2pi e volta a zero para t>=2pi.
Gráfico de y(t): antes de pi é simplesmente o decaimento amortecido e^-tsin t. Ao ligar o pulso em t=pi, a saída começa a acumular energia, elevando o seu valor médio até cerca de 1/2, num regime amortecido. Em t=2pi, ao desligar o pulso, y(t) volta a oscilar e decair à volta de zero.
Relação: y(t) é a convolução de h(t) com a resposta ao impulso g(t)=e^-tsin t, ou seja, o sistema filtra o pulso retangular gerando uma resposta amortecida e defasada.

Resposta

y(t)= e^-tsin t,&0<= t<pi,[6pt] e^-tsin t +dfrac12 -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&pi<= t<2pi,[8pt] e^-tsin t +dfrac12e^-(t-2pi)l[sin t+cos tr] -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&t>=2pi,
com h(t) retangular em [pi,2pi) e y(t) dado pela convolução com g(t)=e^-tsin t.]

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