Nos problemas de 1 a 4, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe os gráficos da solução e do termo não-homogêneo; explique a relação entre eles.
2. ;
Passo 1
O enunciado pede a solução de valor inicial da EDO
y''+2y'+2y = h(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde
h(t)= 1,&pi<= t<2pi, 0,&0<= t<pi e t>=2pi
O conteúdo é a resolução de EDO linear não-homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes usando a solução da homogênea e o método de Duhamel (ou convolução com a resposta ao impulso). Vamos precisar: 1. achar a solução homogênea, 2. expressar h(t) em termos de degraus unitários, 3. usar a fórmula de Duhamel para obter a parte particular, 4. avaliar a integral peça-por-peça conforme t cruza pi e 2pi.
Passo 2
Começamos pela homogênea
y''+2y'+2y=0
A equação característica é
r^2+2r+2=0implies r=-1pm i
logo a solução geral é
yh(t)=e^-tl(Acos t + Bsin tr)
Impondo y(0)=0 e y'(0)=1:
yh(0)=A=0, yh'(t)=e^-t[(Bcos t -Asin t)- (Acos t+Bsin t)]implies yh'(0)=B=1
Assim
yh(t)=e^-tsin t
Passo 3
Escrevemos
h(t)=u(t-pi)-u(t-2pi),
onde u é o degrau unitário. Pela fórmula de Duhamel (convolução com g(t)=e^-tsin t), a parte particular é
boxed y(t)= e^-tsin t,&0<= t<pi,[6pt] e^-tsin t +dfrac12 -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&pi<= t<2pi,[8pt] e^-tsin t +dfrac12e^-(t-2pi)l[sin t+cos tr] -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&t>=2pi ]
Passo 7
Gráfico de h(t): é zero até t=pi, vale 1 no retângulo pi<= t<2pi e volta a zero para t>=2pi.
Gráfico de y(t): antes de pi é simplesmente o decaimento amortecido e^-tsin t. Ao ligar o pulso em t=pi, a saída começa a acumular energia, elevando o seu valor médio até cerca de 1/2, num regime amortecido. Em t=2pi, ao desligar o pulso, y(t) volta a oscilar e decair à volta de zero.
Relação: y(t) é a convolução de h(t) com a resposta ao impulso g(t)=e^-tsin t, ou seja, o sistema filtra o pulso retangular gerando uma resposta amortecida e defasada.
Resposta
y(t)= e^-tsin t,&0<= t<pi,[6pt] e^-tsin t +dfrac12 -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&pi<= t<2pi,[8pt] e^-tsin t +dfrac12e^-(t-2pi)l[sin t+cos tr] -dfrac12e^-(t-pi)l[sin(t-pi)+cos(t-pi)r],&t>=2pi,
com h(t) retangular em [pi,2pi) e y(t) dado pela convolução com g(t)=e^-tsin t.]