Calcule o seguinte limite para determinar a assíntota horizontal da função:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-2 x+5}{2 x^{2}+x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-2x+5}{2x^{2}+x-1}
para determinar a assíntota horizontal de uma função racional. O conteúdo envolve comparar os graus dos polinômios e usar propriedades de limites em infinito.

Passo 2

Como os polinômios do numerador e do denominador têm o mesmo grau (grau 2), os termos de maior grau dominam o comportamento quando x\to\infty. Para expor isso, dividimos numerador e denominador por x^{2}, o grau máximo.

Passo 3

Fazendo a divisão por x^{2} obtemos
\frac{3x^{2}-2x+5}{2x^{2}+x-1} =\frac{3 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{5}{x^{2}}}{2 + \tfrac{1}{x} - \tfrac{1}{x^{2}}}.
Sabemos que \lim_{x\to\infty}\tfrac{1}{x}=0 e \lim_{x\to\infty}\tfrac{1}{x^{2}}=0.

Passo 4

Aplicando o limite na expressão simplificada, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{3 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{5}{x^{2}}}{2 + \tfrac{1}{x} - \tfrac{1}{x^{2}}} =\frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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