Calcule o seguinte limite, que resulta em uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty} :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x},
que é uma forma indeterminada do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar o logaritmo natural e depois exponenciar.

Passo 2

Definimos
y = \bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = x \,\ln\!\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr).

Passo 3

Precisamos calcular
\lim_{x\to\infty}\ln y = \lim_{x\to\infty} x\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr).
Como \tfrac{2}{x}\to0, podemos usar a expansão \ln(1+u)\approx u para u pequeno:
\ln\!\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)\approx \tfrac{2}{x}.
Logo
x\;\ln\!\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)\approx x\cdot\tfrac{2}{x}=2.
Mais rigorosamente, reescrevemos
x\,\ln\!\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr) =\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}}
e aplicamos L’Hôpital, confirmando que o limite vale 2.

Passo 4

Como \lim_{x\to\infty}\ln y=2, concluímos que
\lim_{x\to\infty}y =\lim_{x\to\infty}e^{\ln y} =e^2.

Resposta

e^2

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