Desafio: Analise a existência do limite a seguir e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a existência do limite
O conteúdo principal é comportamento de função oscilatória combinado com divisão por
. Vamos usar mudança de variável e teste por sequências para concluir sobre a não existência do limite.
Passo 2
Fazemos a substituição
logo
. Quando
, tem-se
e portanto
. A expressão vira
Passo 3
Como
, segue
E sabemos que
. Assim o módulo de
cresce sem limite, mostrando que a função não tende a um valor finito.
Passo 4
Para ver que também não tende simplesmente a
nem a
, escolhemos duas sequências que forçam sinais diferentes:
- Tome
. Então e
- Tome
. Então e
Portanto há aproximações que levam a
e outras a
, sem valor limite único.
Resposta
O limite não existe.