Desafio: Analise a existência do limite a seguir e justifique sua resposta.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos (\ln x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a existência do limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos(\ln x)}{x}.
O conteúdo principal é comportamento de função oscilatória combinado com divisão por x\to0^{+}. Vamos usar mudança de variável e teste por sequências para concluir sobre a não existência do limite.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = -\ln x,
logo x = e^{-t}. Quando x\to0^{+}, tem-se \ln x\to -\infty e portanto t\to+\infty. A expressão vira
\frac{\cos(\ln x)}{x} = \frac{\cos(-t)}{e^{-t}} = e^{t}\cos t.

Passo 3

Como -1\le\cos t\le1, segue
-\,e^{t}\;\le\;e^{t}\cos t\;\le\;e^{t}.
E sabemos que \lim_{t\to+\infty}e^{t}=+\infty. Assim o módulo de e^{t}\cos t cresce sem limite, mostrando que a função não tende a um valor finito.

Passo 4

Para ver que também não tende simplesmente a +\infty nem a -\infty, escolhemos duas sequências que forçam sinais diferentes:
  1. Tome t_{n}=2\pi n. Então \cos t_{n}=1 e
x_{n}=e^{-t_{n}}\,,\quad \frac{\cos(\ln x_{n})}{x_{n}} =e^{t_{n}}\cdot1 =e^{2\pi n}\;\longrightarrow\;+\infty.
  1. Tome t_{n}'=\pi+2\pi n. Então \cos t_{n}'=-1 e
x_{n}'=e^{-t_{n}'}\,,\quad \frac{\cos(\ln x_{n}')}{x_{n}'} =e^{t_{n}'}\cdot(-1) =-e^{\pi+2\pi n}\;\longrightarrow\;-\infty.
Portanto há aproximações que levam a +\infty e outras a -\infty, sem valor limite único.

Resposta

O limite não existe.

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