Use o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto) para calcular o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0} x^{2}\sin\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)
usando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto). Vamos usar o fato de que \sin\theta oscila entre -1 e 1.

Passo 2

Sabemos que, para todo \theta, vale
-1 \;\le\; \sin\theta \;\le\; 1.
Substituindo \theta = \frac{1}{x}, mantém-se a desigualdade:
-1 \;\le\; \sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) \;\le\; 1.

Passo 3

Multiplicando toda a desigualdade por x^{2}, que é não negativo para x real, obtemos
-x^{2} \;\le\; x^{2}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) \;\le\; x^{2}.

Passo 4

Agora calculamos o limite das extremidades quando x\to0:
\lim_{x\to0} (-x^{2}) = 0, \qquad \lim_{x\to0} x^{2} = 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Sanduíche, como
-x^{2} \le x^{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) \le x^{2}
e ambos os limites das extremidades são 0, segue que
\lim_{x\to0} x^{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) = 0.

Resposta

0

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