Encontre os seguintes limites e identifique a assíntota vertical da função g(x)=\frac{x+1}{x-2} :
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x+1}{x-2} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x+1}{x-2}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{x+1}{x-2}
e pede os limites laterais em x=2 e a assíntota vertical. O conteúdo é limites infinitos: quando o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor finito não nulo, o quociente diverge. Também usaremos a definição de assíntota vertical: se \lim_{x\to a^+}g(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to a^-}g(x)=\pm\infty, então x=a é assíntota vertical.

Passo 2

Para calcular
\lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}
observamos que quando x\to2 o numerador x+1\to3>0 e o denominador x-2 é positivo e muito pequeno. Logo o quociente cresce sem limite, ou seja
\lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty.

Passo 3

Para calcular
\lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}
notamos que o numerador continua tendendo a 3>0, mas agora o denominador x-2 é negativo e muito pequeno (pois x<2). Portanto o quociente fica muito negativo e tende a
\lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty.

Passo 4

Como um dos limites laterais vai a +\infty e o outro a -\infty, por definição a reta x=2 é uma assíntota vertical de g(x).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{x+1}{x-2}=+\infty \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{x+1}{x-2}=-\infty
Assíntota vertical: x=2.

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