Considere as funções vetoriais definidas por:
\mathbf{F}(t)=(\cos t, \sin t, t), \quad \mathbf{G}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), \quad \mathbf{H}(t)=(t, t+1, t+2)
Calcule a seguinte expressão:
\mathbf{F}(t)+\mathbf{G}(t)

Passo 1

O enunciado dá três funções vetoriais. As que nos interessam aqui são:
\mathbf{F}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t), \qquad \mathbf{G}(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right).
A pergunta é: calcular a expressão \mathbf{F}(t)+\mathbf{G}(t).

Passo 2

O que é cada coisa? Cada função vetorial \mathbf{V}(t) tem três componentes dependentes do parâmetro t: a primeira componente (coordena x), a segunda (coordena y) e a terceira (coordena z). No caso:
  • Em \mathbf{F}(t): a componente x é \cos t, a y é \sin t e a z é t.
  • Em \mathbf{G}(t): a componente x é t, a y é t^{2} e a z é t^{3}.
Aqui t é o parâmetro comum a ambas as funções; é um número real que podemos substituir para obter vetores concretos.

Passo 3

Regra de adição de vetores (explicação didática): se
\mathbf{A}(t)=(a_{1}(t),\;a_{2}(t),\;a_{3}(t)) \quad\text{e}\quad \mathbf{B}(t)=(b_{1}(t),\;b_{2}(t),\;b_{3}(t)),
então a soma é feita componente a componente:
\mathbf{A}(t)+\mathbf{B}(t)=(a_{1}(t)+b_{1}(t),\;a_{2}(t)+b_{2}(t),\;a_{3}(t)+b_{3}(t)).
Em palavras: soma-se a primeira com a primeira, a segunda com a segunda, e a terceira com a terceira. Isso vale para qualquer t.

Passo 4

Aplicando a regra às componentes de \mathbf{F} e \mathbf{G}:
  • Primeira componente (coordena x):
\text{primeira}=\cos t + t.
  • Segunda componente (coordena y):
\text{segunda}=\sin t + t^{2}.
  • Terceira componente (coordena z):
\text{terceira}=t + t^{3}.
Observação: a terceira componente também pode ser escrita como t(1+t^{2}), se quiser factorizar.

Passo 5

Cheque rápido com valores numéricos (confirmação): para t=0,
\cos 0 + 0 = 1,\qquad \sin 0 + 0^{2}=0,\qquad 0+0^{3}=0.
Logo o vetor soma em t=0 é (1,0,0). Para t=1,
\cos 1 + 1,\qquad \sin 1 + 1,\qquad 1 + 1,
valores concretos que confirmam o procedimento componente a componente.

Resposta

\mathbf{F}(t)+\mathbf{G}(t)=\big(\cos t + t,\;\sin t + t^{2},\;t + t^{3}\big)

Exercícios relacionados