Calcule o seguinte limite de uma função vetorial:
\lim _{t \rightarrow 2}\left(\frac{t^{2}-4}{t-2}, \frac{\sin (\pi t)}{t}, e^{t-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
\bigl(f(t),\;g(t),\;h(t)\bigr)
quando t\to2, onde
f(t)=\frac{t^{2}-4}{t-2},\quad g(t)=\frac{\sin(\pi t)}{t},\quad h(t)=e^{t-2}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções reais e uso de propriedades de continuidade.

Passo 2

Para f(t)=\frac{t^{2}-4}{t-2}, fatoramos o numerador como diferença de quadrados:
t^{2}-4=(t-2)(t+2).
Para t\neq2,
f(t)=\frac{(t-2)(t+2)}{t-2}=t+2.
Como t+2 é contínua em t=2,
\lim_{t\to2}f(t)=2+2=4.

Passo 3

Para g(t)=\frac{\sin(\pi t)}{t}, observe que \sin(\pi t) e t são funções contínuas e t não se anula em t=2. Portanto, basta substituir:
\lim_{t\to2}g(t)=\frac{\sin\bigl(\pi\cdot2\bigr)}{2}=\frac{\sin(2\pi)}{2}=\frac{0}{2}=0.

Passo 4

Para h(t)=e^{t-2}, a função exponencial é contínua em todo \mathbb{R}. Logo,
\lim_{t\to2}h(t)=e^{2-2}=e^{0}=1.

Resposta

\lim_{t\to2}\bigl(f(t),g(t),h(t)\bigr) = (4,0,1).

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