Determine os intervalos nos quais a função vetorial f(t)=\left(\tan (t), \frac{1}{t^{2}-9}, t\right) é contínua.

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de continuidade de
f(t)=\bigl(\tan(t),\,\tfrac1{t^2-9},\,t\bigr).
Sabemos que uma função vetorial é contínua onde cada componente é contínua. Vamos então achar o domínio de continuidade de cada componente e depois intersectá-los.

Passo 2

A componente \tan(t) é contínua sempre que \cos(t)\neq0, isto é,
t\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo o seu domínio de continuidade é
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+(k+1)\pi\Bigr) \;=\;\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl(\tfrac{(2k-1)\pi}{2},\;\tfrac{(2k+1)\pi}{2}\Bigr).

Passo 3

A componente \displaystyle \tfrac1{t^2-9} é contínua sempre que o denominador não anula, isto é,
t^2-9\neq0\;\Longrightarrow\;t\neq\pm3.
Seu domínio de continuidade é
(-\infty,-3)\;\cup\;(-3,3)\;\cup\;(3,\infty).

Passo 4

A componente t é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

O domínio de continuidade de f é a interseção dos três domínios acima, ou seja todos os t tais que
\cos(t)\neq0 \quad\text{e}\quad t\neq\pm3.
Em outras palavras, removemos da reta real todos os pontos
t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}, \quad\text{e}\quad t=\pm3
e ficamos com a união dos intervalos abertos resultantes. Por exemplo, em ordem crescente aparecem:
\ldots, \bigl(-\tfrac{5\pi}{2},\, -\tfrac{3\pi}{2}\bigr), \bigl(-\tfrac{3\pi}{2},\, -3\bigr), \bigl(-3,\, -\tfrac{\pi}{2}\bigr), \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\, \tfrac{\pi}{2}\bigr), \bigl(\tfrac{\pi}{2},\, 3\bigr), \bigl(3,\, \tfrac{3\pi}{2}\bigr), \bigl(\tfrac{3\pi}{2},\, \tfrac{5\pi}{2}\bigr), \ldots

Resposta

A função f(t) é contínua para
t\in\mathbb{R}\setminus\Bigl(\{\pm3\}\,\cup\,\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\}\Bigr),
isto é, em cada um dos intervalos abertos delimitados pelos pontos \pm3 e \tfrac{\pi}{2}+k\pi.

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