Determine o domínio da função vetorial f(t)=\left(\sqrt{4-t^{2}}, \ln (t+1), \frac{1}{t-1}\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
f(t)=\bigl(\sqrt{4-t^{2}},\;\ln(t+1),\;\tfrac1{t-1}\bigr).
Para encontrar o domínio de f temos de determinar para quais valores de t cada componente está bem definida (i.e.\ sem raiz de número negativo, sem logaritmo de argumento não positivo e sem divisão por zero) e então tomar a interseção desses conjuntos.

Passo 2

Analisando a primeira componente \sqrt{4-t^2}:
O radicando deve ser não‐negativo, ou seja,
4 - t^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le t \le 2.
Portanto o domínio desta parte é [-2,2].

Passo 3

Analisando a segunda componente \ln(t+1):
O argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo, ou seja,
t + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad t > -1.
Logo o domínio desta parte é (-1,\infty).

Passo 4

Analisando a terceira componente \tfrac1{t-1}:
O denominador não pode ser zero, ou seja,
t - 1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t \neq 1.
Então o domínio desta parte é \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 5

O domínio de f é a interseção dos três domínios acima:
[-2,2]\;\cap\;(-1,\infty)\;\cap\;\bigl(\mathbb{R}\setminus\{1\}\bigr) =\;(-1,2]\;\setminus\{1\} =\;(-1,1)\;\cup\;(1,2].

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=(-1,1)\cup(1,2].

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