Calcule o seguinte limite para infinito
lim x infty raiz144 x^2+24 x+4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular o limite quando x tende ao infinito da seguinte expressão:
lim x infty raiz144 x^2+24 x+4
Aqui, estamos trabalhando com o calculo de limites em funções racionais envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz do numerador. Observamos que 144x^2 é o termo de maior grau. Podemos fatorar x^2 dentro da raiz:
raiz144 x^2+2 = raizx^2 (144 + 2x^2) = x raiz144 + 2x^2
Aqui, usamos a propriedade que raiza cdot b = raiza cdot raizb .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão original usando essa simplificação:
raiz144 x^2+24 x+4 = x raiz144 + 2x^24x + 4
Podemos dividir o numerador e o denominador por x para simplificar ainda mais:
x raiz144 + 2x^24x + 4 = raiz144 + 2x^24 + 4x

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da expressão quando x tende ao infinito. Observamos que 2x^2 e 4x tendem a zero, já que x está no denominador e cresce sem limites. Então, a expressão simplifica para:
raiz144 + 04 + 0 = raiz1444 = 124

Resposta

O limite é igual a 3 .
lim x infty raiz144 x^2+24 x+4 = 3

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