Calcule o seguinte limite
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite para calcular:
Estamos lidando com cálculo de limites, que é um conceito importante em matemática para entender o comportamento das funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador:
. A ideia aqui é tentar fatorar esse polinômio. Um jeito de fazer isso é tentar encontrar as raízes do polinômio, ou seja, os valores de
que fazem o polinômio igual a zero.
Vamos testar
:
Como deu zero, sabemos que
é um fator do numerador.
Passo 3
Agora, vamos dividir o numerador por
para encontrar os outros fatores. Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, encontramos que:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -11. Esses números são -1 e -10.
Então,
Portanto, o numerador completamente fatorado fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador:
. Aqui também vamos procurar dois números que multiplicados dão 12 e somados dão -8. Esses números são -2 e -6.
Então,
Passo 5
Com o numerador e o denominador fatorados, nossa expressão original fica:
A gente pode simplificar essa fração cancelando o fator comum
:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
por 2:
Resposta
O limite é igual a
.