Calcule o seguinte limite
lim x 2 x^3-13 x^2+32 x-20x^2-8 x+12
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite para calcular:
lim x 2 x^3-13 x^2+32 x-20x^2-8 x+12
Estamos lidando com cálculo de limites, que é um conceito importante em matemática para entender o comportamento das funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: x^3-13x^2+32x-20. A ideia aqui é tentar fatorar esse polinômio. Um jeito de fazer isso é tentar encontrar as raízes do polinômio, ou seja, os valores de x que fazem o polinômio igual a zero.
Vamos testar x = 2:
2^3 - 13 times 2^2 + 32 times 2 - 20 = 8 - 52 + 64 - 20 = 0
Como deu zero, sabemos que x - 2 é um fator do numerador.

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador por x - 2 para encontrar os outros fatores. Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, encontramos que:
x^3-13x^2+32x-20 = (x - 2)(x^2 - 11x + 10)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 - 11x + 10. Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -11. Esses números são -1 e -10.
Então,
x^2 - 11x + 10 = (x - 1)(x - 10)
Portanto, o numerador completamente fatorado fica:
x^3-13x^2+32x-20 = (x - 2)(x - 1)(x - 10)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador: x^2-8x+12. Aqui também vamos procurar dois números que multiplicados dão 12 e somados dão -8. Esses números são -2 e -6.
Então,
x^2-8x+12 = (x - 2)(x - 6)

Passo 5

Com o numerador e o denominador fatorados, nossa expressão original fica:
(x - 2)(x - 1)(x - 10)(x - 2)(x - 6)
A gente pode simplificar essa fração cancelando o fator comum (x - 2):
(x - 1)(x - 10)(x - 6)

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x por 2:
(2 - 1)(2 - 10)(2 - 6) = (1)(-8)(-4) = -8-4 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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