Calcule o seguinte limite
lim y 5 sen(y^2-25)y-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função quando y se aproxima de 5. O enunciado é:
lim y 5 sen(y^2-25)y-5
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e limites indeterminados para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando substituímos y por 5 diretamente na função:
sen(5^2-25)5-5 = sen(25-25)0 = sen(0)0 = 00
Esse resultado é chamado de forma indeterminada ( 00 ), o que significa que a gente precisa usar outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Uma ferramenta super útil para resolver formas indeterminadas é a Regra de L’Hôpital. Ela diz que se você tem um limite da forma 00 ou inftyinfty , você pode derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Então, vamos aplicar isso aqui.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador sen(y^2 - 25) :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada do seno é o cosseno, multiplicado pela derivada do que está dentro do seno.
ddy sen(y^2 - 25) = cos(y^2 - 25) cdot 2y
  • Derivada do denominador y - 5 :
ddy (y - 5) = 1

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
lim y 5 cos(y^2 - 25) cdot 2y1
Isso simplifica para:
lim y 5 2y cdot cos(y^2 - 25)

Passo 6

Agora, substituímos y = 5 na expressão simplificada:
2 cdot 5 cdot cos(5^2 - 25) = 10 cdot cos(25 - 25) = 10 cdot cos(0)
Sabemos que cos(0) = 1 , então:
10 cdot 1 = 10

Resposta

O limite é igual a 10.

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