Calcule o seguinte limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 5. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e limites indeterminados para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando substituímos
por 5 diretamente na função:
Esse resultado é chamado de forma indeterminada (
), o que significa que a gente precisa usar outra estratégia para encontrar o limite.
Passo 3
Uma ferramenta super útil para resolver formas indeterminadas é a Regra de L’Hôpital. Ela diz que se você tem um limite da forma
ou
, você pode derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Então, vamos aplicar isso aqui.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: Usamos a regra da cadeia. A derivada do seno é o cosseno, multiplicado pela derivada do que está dentro do seno.
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é igual a 10.