Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
, onde
é um arco da curva
Passo 1
Vamos resolver a integral curvilínea de primeira espécie dada por:
Aqui,
é um arco da curva parametrizada por:
Conteúdo da matéria: Integrais curvilíneas de primeira espécie, que envolvem calcular a integral de uma função ao longo de uma curva no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: Entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arco
e substituir na integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diferencial de arco
. Para uma curva parametrizada por
, temos:
Então, vamos calcular as derivadas das funções
,
e
:
Passo 3
Agora, substituímos essas derivadas na expressão de
:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Essa expressão não é facilmente fatorável, então continuaremos com ela como está.
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Seja
. Então,
Observamos que:
Portanto,
Passo 7
Substituímos na integral:
Passo 8
Agora, integramos
:
Como vamos calcular a integral definida de
a
, substituímos os limites para
:
Quando
:
Quando
:
Resposta
Substituindo os valores de
na integral, temos:
Portanto, o valor da integral é: