Calcule as seguintes integrais curvilíneias de primeira espécie.
integralC(x+z) d s, onde C é um arco da curva x=t, y=3 t^2raiz2, z=t^3, 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos resolver a integral curvilínea de primeira espécie dada por:
integralC (x + z) , ds
Aqui, C é um arco da curva parametrizada por:
x = t, y = 3 t^2raiz2, z = t^3, 0 <= t <= 1
Conteúdo da matéria: Integrais curvilíneas de primeira espécie, que envolvem calcular a integral de uma função ao longo de uma curva no espaço tridimensional.
O que vamos precisar: Entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arco ds e substituir na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diferencial de arco ds. Para uma curva parametrizada por t, temos:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Então, vamos calcular as derivadas das funções x(t), y(t) e z(t):
dxdt = 1, dydt = 6 traiz2, dzdt = 3 t^2

Passo 3

Agora, substituímos essas derivadas na expressão de ds:
ds = raiz1^2 + (6 traiz2)^2 + (3 t^2)^2 , dt = raiz1 + 36 t^22 + 9 t^4 , dt = raiz1 + 18 t^2 + 9 t^4 , dt

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
1 + 18 t^2 + 9 t^4 = 9 t^4 + 18 t^2 + 1
Essa expressão não é facilmente fatorável, então continuaremos com ela como está.

Passo 5

Agora, substituímos x(t), z(t) e ds na integral original:
integral0^1 (t + t^3) cdot raiz9 t^4 + 18 t^2 + 1 , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Seja w = 9 t^4 + 18 t^2 + 1. Então,
dwdt = 36 t^3 + 36 t
Observamos que:
36 t^3 + 36 t = 36 t (t^2 + 1) = 36 (t^3 + t)
Portanto,
dw = 36 (t^3 + t) , dt Rightarrow (t^3 + t) , dt = dw36

Passo 7

Substituímos na integral:
integral (t + t^3) raizw , dt = integral raizw cdot dw36 = 136 integral raizw , dw

Passo 8

Agora, integramos raizw:
136 integral w^1/2 , dw = 136 cdot 23 w^3/2 + C = 154 w^3/2 + C
Como vamos calcular a integral definida de t = 0 a t = 1, substituímos os limites para w:
Quando t = 0:
w = 9(0)^4 + 18(0)^2 + 1 = 1
Quando t = 1:
w = 9(1)^4 + 18(1)^2 + 1 = 9 + 18 + 1 = 28

Resposta

Substituindo os valores de w na integral, temos:
154 (28^3/2 - 1^3/2) = 154 (56 raiz7 - 1)
Portanto, o valor da integral é:
56 raiz7 - 154

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