Seja h a função definida por
h(x)=x^2-9x-3
Determine o domínio e a imagem de h e faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=x^2-9x-3 e pede domínio, imagem e esboço do gráfico. Para resolver, vamos usar a definição de domínio (denominador neq0), fatorar o numerador para simplificar a expressão em xneq3, analisar a função simplificada para obter a imagem e traçar o gráfico da reta resultante com eventual ponto removido.

Passo 2

Para encontrar o domínio, note que o denominador x-3 não pode ser zero. Logo
x-3neq0implies xneq3,
e o domínio é
(-infty,3)cup(3,infty)

Passo 3

Para xneq3, fatoramos o numerador:
x^2-9=(x-3)(x+3),
então
h(x)=(x-3)(x+3)x-3=x+3

Passo 4

A expressão y=x+3 atinge todos os valores reais quando x percorre (-infty,3)cup(3,infty), mas não atinge y=6 porque isso ocorreria em x=3, excluído do domínio. Assim, a imagem é
Rsetminus6

Passo 5

O gráfico é a reta de inclinação 1 e intercepto em y=3, ou seja y=x+3, porém com um ponto vazio (buraco) em (3,6).

Resposta

Domínio: (-infty,3)cup(3,infty)\nImagem: Rsetminus6\nGráfico: reta y=x+3 com ponto removido em (3,6).

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