Desafio: Usando a definição formal de limite
, prove que:
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre, usando a definição formal de limite (ε–δ), que
O conteúdo aqui é a definição de limite de função real: “para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se 0<|x−2|<δ, então |f(x)−L|<ε”.
Passo 2
Escrevendo essa definição para o nosso caso,
e
:
Dado , devemos encontrar
tal que, sempre que
Dado
tenhamos
Passo 3
Vamos simplificar a quantidade que queremos tornar menor que
:
Passo 4
Para garantir
, basta pedir
. Logo, é natural escolher
Então, se
, fica
que é exatamente o que a definição exige.
Resposta
Dado qualquer
, escolhendo
, garantimos que
implique
. Portanto, por definição,