Desafio: Usando a definição formal de limite (\epsilon-\delta), prove que:
\lim _{x \rightarrow 2}(3 x-1)=5

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, usando a definição formal de limite (ε–δ), que
\lim_{x\to 2}(3x - 1) = 5.
O conteúdo aqui é a definição de limite de função real: “para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se 0<|x−2|<δ, então |f(x)−L|<ε”.

Passo 2

Escrevendo essa definição para o nosso caso, f(x)=3x-1 e L=5:
Dado \epsilon>0, devemos encontrar \delta>0 tal que, sempre que
0 < |x - 2| < \delta,
tenhamos
\bigl|(3x - 1) - 5\bigr| < \epsilon.

Passo 3

Vamos simplificar a quantidade que queremos tornar menor que \epsilon:
\bigl|(3x - 1) - 5\bigr| = \bigl|3x - 6\bigr| = 3\,\bigl|x - 2\bigr|.

Passo 4

Para garantir 3\,|x-2|<\epsilon, basta pedir |x-2|<\epsilon/3. Logo, é natural escolher
\delta = \frac{\epsilon}{3}.
Então, se 0<|x-2|<\delta, fica
\bigl|(3x - 1) - 5\bigr| = 3\,|x - 2| < 3\,\delta = 3\cdot\frac{\epsilon}{3} = \epsilon,
que é exatamente o que a definição exige.

Resposta

Dado qualquer \epsilon>0, escolhendo \delta=\epsilon/3, garantimos que 0<|x-2|<\delta implique \bigl|(3x-1)-5\bigr|<\epsilon. Portanto, por definição,
\lim_{x\to2}(3x-1)=5.

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