Calcule o seguinte limite trigonométrico
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(4 x)}{\operatorname{tg}(3 x)}

Passo 1

O enunciado nos pede o valor do limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{tg}(3x)}.
Este é um limite de funções trigonométricas que tende a usar as aproximações \operatorname{sen} u\sim u e \operatorname{tg} v\sim v quando u,v\to0, ou então a reescrita de \operatorname{tg} como \operatorname{sen}/\cos.

Passo 2

Reescrevemos a tangente em termos de seno e cosseno:
\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{tg}(3x)} = \frac{\operatorname{sen}(4x)}{\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\cos(3x)}} = \cos(3x)\,\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{sen}(3x)}.

Passo 3

Como \cos(3x) é contínua em x=0, temos
\lim_{x\to0}\cos(3x)=\cos(0)=1.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{tg}(3x)} =\Bigl(\lim_{x\to0}\cos(3x)\Bigr)\;\Bigl(\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{sen}(3x)}\Bigr) =1\cdot\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{sen}(3x)}.

Passo 4

Para calcular \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{sen}(3x)} usamos o fato de que \operatorname{sen}(u)\sim u quando u\to0:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(4x)}{\operatorname{sen}(3x)} =\lim_{x\to0}\frac{4x}{3x} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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