Calcule o seguinte limite usando estratégias para sair da indeterminação matemática: lim x 3 x-32 x^2-3 x-9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando x se aproxima de 3 para a expressão x-32x^2 - 3x - 9. Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites na matemática, e muitas vezes encontramos situações onde a substituição direta resulta em uma forma indeterminada, como 00 . Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão usando técnicas como fatoração.

Passo 2

Vamos tentar substituir x = 3 diretamente na expressão para verificar se realmente obtemos uma forma indeterminada:
3 - 32(3)^2 - 3(3) - 9 = 018 - 9 - 9 = 00
Como vimos, obtemos 00, que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, vamos fatorar o denominador 2x^2 - 3x - 9 . Procuramos dois números que multiplicados dão 2 times (-9) = -18 e que somados dão -3. Esses números são 3 e -6. Então, podemos reescrever o denominador assim:
2x^2 - 3x - 9 = 2x^2 + 3x - 6x - 9
Agora, agrupamos os termos:
= (2x^2 + 3x) - (6x + 9)
Fatoramos cada grupo:
= x(2x + 3) - 3(2x + 3)
Agora, podemos fatorar 2x + 3 :
= (2x + 3)(x - 3)

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, nossa expressão original fica:
x - 3(2x + 3)(x - 3)
Podemos cancelar o termo x - 3 no numerador e no denominador:
cancelx - 3(2x + 3)cancel(x - 3) = 12x + 3

Passo 5

Agora, a expressão simplificada é 12x + 3. Podemos calcular o limite substituindo x = 3 :
limx to 3 12(3) + 3 = 16 + 3 = 19

Resposta

O limite é 19.

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