Calcule o seguinte limite usando estratégias para sair da indeterminação matemática: lim x 1 x^3-1x-1
x 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 1 x^3-1x-1. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites e formas indeterminadas. A gente vai precisar usar umas técnicas de fatoração para simplificar a expressão e eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos x = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 na expressão para ver o que acontece:
1^3 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00
Essa forma 00 é uma indeterminação, ou seja, não conseguimos determinar o valor do limite diretamente. Precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^3 - 1. Sabemos que x^3 - 1 é uma diferença de cubos e pode ser fatorado da seguinte maneira:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
(x - 1)(x^2 + x + 1)x - 1

Passo 4

Observamos que o termo (x - 1) está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando esse termo:
cancel(x - 1)(x^2 + x + 1)cancelx - 1 = x^2 + x + 1
Agora, nossa expressão ficou muito mais simples e não está mais na forma indeterminada.

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo x = 1:
x^2 + x + 1 = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

Exercícios relacionados