Calcule o seguinte limite usando estratégias para sair da indeterminação matemática: lim x 1 x^3-1x-1

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular o limite lim x 1 x^3-1x-1. Quando tentamos substituir x = 1 diretamente, o numerador e o denominador dão 0, resultando numa forma indeterminada 00. Para resolver isso, vamos usar técnicas de fatoração de polinômios, especificamente a diferença de cubos.

Passo 2

Vamos olhar pro numerador x^3 - 1. Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Aqui, a = x e b = 1, então aplicando a fórmula:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 3

Agora, vamos substituir essa fatoração na expressão original do limite:
x^3-1x-1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)x - 1
Os termos (x - 1) se cancelam, ficando assim:
x^2 + x + 1

Passo 4

Com a expressão simplificada, já podemos calcular o limite substituindo x = 1:
x^2 + x + 1 = 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

Exercícios relacionados