Suponha que um medicamento é administrado a um paciente em doses de
miligramas a cada 24 horas. Durante um período de 24 horas, uma fração
(com
) do medicamento presente no corpo é metabolizada.
a) Seja
a quantidade de medicamento no corpo imediatamente após a
-ésima dose. Mostre que
segue a relação de recorrência
p)
.
b) Encontre uma fórmula explícita para
em função de
e
, assumindo que
.
c) Determine a quantidade "limite"de medicamento no corpo, ou seja,
. Interprete o resultado como a soma de uma série geométrica e explique o que isso significa para o tratamento a longo prazo.
a) Seja
b) Encontre uma fórmula explícita para
c) Determine a quantidade "limite"de medicamento no corpo, ou seja,
Passo 1
O enunciado descreve um tratamento em que a cada 24 h o paciente recebe uma dose de
miligramas e, nesse intervalo, metaboliza uma fração
(com
) do que já está no corpo. Estamos diante de uma equação de recorrência linear de primeira ordem e, em seguida, de soma de série geométrica. Para resolver, vamos:
- Modelar matematicamente o processo de metabolização e da dose.
- Montar e justificar a relação de recorrência para
. - Resolver essa recorrência explicitamente com
. - Calcular o limite
e interpretá-lo como soma de uma série geométrica.
Passo 2
Imediatamente após a
-ésima dose há
mg no corpo. Durante as 24 h seguintes, metaboliza-se a fração
, sobrando
, e então aplica-se a nova dose
. Por isso
Passo 3
Para resolver
consideramos primeiro a parte homogênea
cuja solução geral é
Procuramos uma solução particular constante
satisfazendo
logo
A solução geral da recorrência é
Como
, temos
portanto
Passo 4
Para
vale
. Assim
Passo 5
Podemos ver
como a soma da série geométrica das doses residuais:
Isso significa que, após muitas doses, a concentração de fármaco no corpo atinge um valor de equilíbrio
, nem crescendo indefinidamente nem caindo a zero.
Resposta
a)
b)
c) Essa quantidade é a soma da série geométrica das doses remanescentes e representa o valor de regime permanente do medicamento no corpo.
b)
c)