Suponha que um medicamento é administrado a um paciente em doses de D_{0} miligramas a cada 24 horas. Durante um período de 24 horas, uma fração p (com 0<p<1 ) do medicamento presente no corpo é metabolizada.
a) Seja Q_{n} a quantidade de medicamento no corpo imediatamente após a n-ésima dose. Mostre que Q_{n} segue a relação de recorrência Q_{n}=(1- p) Q_{n-1}+D_{0}.
b) Encontre uma fórmula explícita para Q_{n} em função de n, p e D_{0}, assumindo que Q_{0}=0.
c) Determine a quantidade "limite"de medicamento no corpo, ou seja, Q= \lim _{n \rightarrow \infty} Q_{n}. Interprete o resultado como a soma de uma série geométrica e explique o que isso significa para o tratamento a longo prazo.

Passo 1

O enunciado descreve um tratamento em que a cada 24 h o paciente recebe uma dose de D_{0} miligramas e, nesse intervalo, metaboliza uma fração p (com 0<p<1) do que já está no corpo. Estamos diante de uma equação de recorrência linear de primeira ordem e, em seguida, de soma de série geométrica. Para resolver, vamos:
  1. Modelar matematicamente o processo de metabolização e da dose.
  2. Montar e justificar a relação de recorrência para Q_{n}.
  3. Resolver essa recorrência explicitamente com Q_{0}=0.
  4. Calcular o limite Q=\lim_{n\to\infty}Q_{n} e interpretá-lo como soma de uma série geométrica.

Passo 2

Imediatamente após a (n-1)-ésima dose há Q_{n-1} mg no corpo. Durante as 24 h seguintes, metaboliza-se a fração p, sobrando (1-p)Q_{n-1}, e então aplica-se a nova dose D_{0}. Por isso
Q_{n} = (1-p)\,Q_{n-1} + D_{0}.

Passo 3

Para resolver
Q_{n} = (1-p)\,Q_{n-1} + D_{0},
consideramos primeiro a parte homogênea
Q_{n}^{(h)} = (1-p)\,Q_{n-1}^{(h)}
cuja solução geral é
Q_{n}^{(h)} = C\,(1-p)^{n}.
Procuramos uma solução particular constante Q^{*} satisfazendo
Q^{*} = (1-p)\,Q^{*} + D_{0},
logo
Q^{*} = \frac{D_{0}}{p}.
A solução geral da recorrência é
Q_{n} = C\,(1-p)^{n} + \frac{D_{0}}{p}.
Como Q_{0}=0, temos
0 = C + \frac{D_{0}}{p}\quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{D_{0}}{p},
portanto
Q_{n} = \frac{D_{0}}{p}\,\bigl(1 - (1-p)^{n}\bigr).

Passo 4

Para 0<p<1 vale \lim_{n\to\infty}(1-p)^{n}=0. Assim
Q \;=\;\lim_{n\to\infty}Q_{n} \;=\;\frac{D_{0}}{p}.

Passo 5

Podemos ver Q como a soma da série geométrica das doses residuais:
D_{0} + D_{0}(1-p) + D_{0}(1-p)^{2} + \cdots = \frac{D_{0}}{1-(1-p)} = \frac{D_{0}}{p}.
Isso significa que, após muitas doses, a concentração de fármaco no corpo atinge um valor de equilíbrio \tfrac{D_{0}}{p}, nem crescendo indefinidamente nem caindo a zero.

Resposta

a) Q_{n} = (1-p)\,Q_{n-1} + D_{0}.
b) \displaystyle Q_{n} = \frac{D_{0}}{p}\,\bigl(1 - (1-p)^{n}\bigr).
c) \displaystyle \lim_{n\to\infty}Q_{n} = \frac{D_{0}}{p}. Essa quantidade é a soma da série geométrica das doses remanescentes e representa o valor de regime permanente do medicamento no corpo.

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