Um empréstimo de \ 50,000,00 deve ser liquidado em 12 prestaçōes iguais. Sabendo-se que a primeira prestação vence no final doçōçã4^{\circ}$ més e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 5% ao més, determinar o valor da prestação.

Passo 1

O enunciado nos dá um empréstimo de \$50.000,00 que será pago em 12 prestações iguais, com a primeira prestação vencendo no final do 4^{\circ} mês. A taxa de juros é de 5\% ao mês. O que precisamos aqui é aplicar o conceito de valor presente de uma anuidade diferida para encontrar o valor da prestação x.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor presente dessa anuidade no instante imediatamente antes da primeira prestação, ou seja, no final do 3^{\circ} mês. Como são 12 pagamentos de valor x e a taxa mensal é i=0,05, o valor presente ao tempo 3 (denotado por PV_{3}) é
PV_{3} = x \,\frac{1 - (1{,}05)^{-12}}{0{,}05}.

Passo 3

Em seguida, precisamos trazer esse valor PV_{3} para o tempo zero, descontando 3 meses a 5\% ao mês. Logo, o valor presente no tempo zero é
PV_{0} = PV_{3}\,\bigl(1{,}05\bigr)^{-3} = x \,\frac{1 - (1{,}05)^{-12}}{0{,}05}\,(1{,}05)^{-3}.

Passo 4

Como o empréstimo de \$50.000,00 equivale ao valor presente dos pagamentos, igualamos
50.000,00 = x \,\frac{1 - (1{,}05)^{-12}}{0{,}05}\,(1{,}05)^{-3}
e isolamos x:
x = \frac{50.000,00 \times 0{,}05 \times (1{,}05)^{3}}{1 - (1{,}05)^{-12}}.

Passo 5

Agora, calculamos numericamente:
(1{,}05)^{12}\approx1{,}795856,\quad (1{,}05)^{-12}\approx0{,}556837,\quad 1 - (1{,}05)^{-12}\approx0{,}443163,
\frac{1 - (1{,}05)^{-12}}{0{,}05}\approx8{,}86327,\quad (1{,}05)^{-3}\approx0{,}863838,
\frac{50.000,00}{8{,}86327\times0{,}863838}\approx6.529,66.

Resposta

O valor de cada prestação é, aproximadamente, \$6.529,66.

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