Calcule os seguinte limites:
\lim _{t \rightarrow 0}\left\langle\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}, t\right\rangle.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
\mathbf{f}(t)=\bigl\langle \frac{\operatorname{sen}(t)}{t},\,t\bigr\rangle
quando t\to0. Para funções vetoriais, usamos a propriedade de que o limite do vetor é o vetor dos limites de cada componente, desde que ambos existam.

Passo 2

Calculamos o limite da primeira componente, que é o limite clássico
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Isso vem do conhecido resultado do cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas.

Passo 3

Calculamos o limite da segunda componente, simples por ser uma função polinomial:
\lim_{t\to0}t=0.

Passo 4

Como ambos os limites das componentes existem, o limite do vetor é o vetor formado por esses dois valores:
\lim_{t\to0}\mathbf{f}(t) =\bigl\langle 1,\,0\bigr\rangle.

Resposta

\displaystyle \bigl\langle 1,\,0\bigr\rangle

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