Dadas as funções vetoriais F(t)=\langle 2 t, t, 1\rangle e G(t)=\langle 0,3, \sqrt{t}\rangle e a função escalar h(t)=5 t, calcule:
\lim _{t \rightarrow 0}[F(t) \times G(t)].

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas funções vetoriais \displaystyle F(t)=\langle 2t,\;t,\;1\rangle e \displaystyle G(t)=\langle 0,\;3,\;\sqrt{t}\rangle.
O objetivo é calcular \displaystyle \lim_{t\to0}[\,F(t)\times G(t)\,].
Vamos usar a definição de produto vetorial via determinante e depois a propriedade de que o limite de uma função vetorial existe se os limites de cada componente existem.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial F(t)\times G(t) por meio do determinante
F(t)\times G(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2t & t & 1\\\\ 0 & 3 & \sqrt{t} \end{vmatrix} =\Bigl\langle t\sqrt{t}-3,\; -\,\bigl(2t\sqrt{t}-0\bigr),\; 2t\cdot3 - t\cdot0 \Bigr\rangle =\langle t^{3/2}-3,\;-2\,t^{3/2},\;6t\rangle.

Passo 3

Agora aplicamos o limite componente a componente:
\lim_{t\to0}t^{3/2}=0, \quad \lim_{t\to0}(-2\,t^{3/2})=0, \quad \lim_{t\to0}6t=0.
Portanto,
\lim_{t\to0}[\,F(t)\times G(t)\,] =\langle 0-3,\;0,\;0\rangle =\langle -3,\;0,\;0\rangle.

Resposta

\langle -3,0,0\rangle

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