Verifique se a função F(t)=\langle\operatorname{sen}(t), \cos (t), 1\rangle é contínua em t_{0}=\pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de variável real em \mathbb{R}^3
F(t)=\langle \sin(t),\,\cos(t),\,1\rangle
e pede para verificar se F é contínua em t_{0}=\pi. O conteúdo envolve definição de continuidade de função vetorial e o fato de que sen, cos e funções constantes são contínuas.

Passo 2

Pela definição, F é contínua em t_{0} se, e somente se,
\lim_{t\to t_{0}}F(t)=F(t_{0}).
Como F é vetor em \mathbb{R}^3, esse limite vetorial se verifica componente a componente.

Passo 3

Aplicamos o teorema do limite para funções compostas e combinação linear:
  1. \lim_{t\to\pi}\sin(t)=\sin(\pi)=0, pois \sin é contínua em \pi.
  2. \lim_{t\to\pi}\cos(t)=\cos(\pi)=-1, pois \cos é contínua em \pi.
  3. A terceira componente é a função constante 1, logo \lim_{t\to\pi}1=1.

Passo 4

Juntando as componentes no vetor-limite, obtemos
\lim_{t\to\pi}F(t) =\Bigl(\lim_{t\to\pi}\sin(t),\;\lim_{t\to\pi}\cos(t),\;\lim_{t\to\pi}1\Bigr) =(0,\,-1,\,1).
De fato, F(\pi)=\langle\sin(\pi),\cos(\pi),1\rangle=\langle0,-1,1\rangle.

Resposta

A função F é contínua em t_{0}=\pi, pois
\lim_{t\to\pi}F(t)=F(\pi)=\langle0,-1,1\rangle.

Exercícios relacionados