Determine o domínio das funções vetoriais:
F(t)=\left\langle\frac{e^{t}-1}{t}, \frac{\sqrt{1+t}-1}{t}, \frac{3}{t+1}\right\rangle.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
F(t)=\biggl\langle \frac{e^{t}-1}{t},\,\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\,\frac{3}{t+1}\biggr\rangle.
Para cada componente devemos encontrar os valores de t\in\mathbb{R} que tornam as expressões bem-definidas e depois tomar a interseção desses conjuntos.

Passo 2

Analisando a primeira componente f_1(t)=\frac{e^{t}-1}{t}, não há restrição no numerador, mas o denominador exige t\neq 0.
Logo o domínio de f_1 é \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Na segunda componente f_2(t)=\frac{\sqrt{1+t}-1}{t} temos duas condições:
  1. A raiz quadrada exige 1+t\ge 0, ou seja
t\ge -1.
  1. O denominador exige t\neq 0.
    Portanto o domínio de f_2 é
[-1,\infty)\setminus\{0\}.

Passo 4

Na terceira componente f_3(t)=\frac{3}{t+1} basta evitar t+1=0, ou seja
t\neq -1.
Assim o domínio de f_3 é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 5

O domínio de F é a interseção dos domínios de f_1, f_2 e f_3:
\bigl(\mathbb{R}\setminus\{0\}\bigr)\,\cap\,[ -1,\infty)\setminus\{0\}\,\cap\,\bigl(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\bigr).
Isso equivale a exigir t\ge -1, t\neq -1 e t\neq 0. Logo
t\in(-1,0)\,\cup\,(0,\infty).

Resposta

O domínio de F é
(-1,0)\,\cup\,(0,\infty).

Exercícios relacionados