Calcule as seguintes antiderivadas:
integral(x+3 e^5 x+cos (2 x)) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (primitiva) da soma
x + 3e^5x + cos(2x)
Aqui vamos usar duas ideias principais da integração:
  1. A linearidade, que permite escrever integrall(f+g+hr),dx = integral f,dx + integral g,dx + integral h,dx
  2. As regras básicas
    • integral x,dx = tfracx^22 + C,
    • integral e^ax,dx = tfrac1ae^ax + C,
    • integral cos(bx),dx = tfrac1bsin(bx) + C.

Passo 2

Separamos por linearidade:
integrall(x + 3e^5x + cos(2x)r),dx = integral x,dx ;+; integral 3e^5x,dx ;+; integral cos(2x),dx

Passo 3

Para integral x,dx, aplicamos a potência:
integral x,dx = x^22

Passo 4

Para integral 3e^5x,dx, fatoramos o 3 e usamos a fórmula do exponencial:
integral 3e^5x,dx = 3integral e^5x,dx = 3cdot15e^5x = 35e^5x

Passo 5

Para integral cos(2x),dx, lembramos que a derivada de sin(2x) é 2cos(2x), então
integral cos(2x),dx = 12sin(2x)

Resposta

Somando tudo e adicionando a constante C, obtemos
boxedx^22 ;+;35e^5x;+;12sin(2x);+;C

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