Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas:
gamma(t)=(t, 1-t^2, 2) no ponto (0,1,2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a reta tangente à curva em espaço dado por
gamma(t)=(t,;1-t^2,;2)
no ponto (0,1,2). O conteúdo aqui é cálculo de derivada de curva parametrizada em R^3 e construção da reta tangente usando o vetor derivada.

Passo 2

Precisamos achar o valor de t para o qual
gamma(t)=(0,1,2). Igualando coordenadas:
t=0,
1 - t^2 = 1 Longrightarrow t=0,
2=2 (sempre satisfeito)
Logo, o ponto corresponde a t0=0.

Passo 3

Calculamos a derivada da curva, que é o vetor tangente genérico:
gamma'(t)=l(1,;-2t,;0r)

Passo 4

Avaliamos esse vetor em t0=0:
gamma'(0)=l(1,;0,;0r)
Esse é o vetor direção da reta tangente no ponto dado.

Passo 5

A reta tangente passa por (0,1,2) e tem direção (1,0,0). Em forma vetorial parametrizada:
r(s) = (0,1,2) + s,(1,0,0)
Em coordenadas, isso equivale a
x(s)=s, y(s)=1, z(s)=2

Resposta

A reta tangente é
r(s) = (0,1,2) + s,(1,0,0),
ou, em coordenadas,
x=s, y=1, z=2

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