Determine a equação do plano passando pelos pontos P1, P2 e P3, sendo:
P1=(-3,0,2), P2=(6,1,4), P3=(-5,1,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por três pontos dados: P1(-3,0,2), P2(6,1,4) e P3(-5,1,0). Vamos usar conceitos de geometria analítica: montar dois vetores no plano, calcular o vetor normal via produto vetorial e, por fim, escrever a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, crio dois vetores que ficam no plano. Escolho a partir de P1:
vec u = P1P2 = (6 - (-3),;1 - 0,;4 - 2) = (9,,1,,2),
vec v = P1P3 = (-5 - (-3),;1 - 0,;0 - 2) = (-2,,1,,-2)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado pelo produto vetorial vec u times vec v. Calculando coordenada a coordenada:
vec n = (u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1) = (1cdot(-2) - 2cdot1,;2cdot(-2) - 9cdot(-2),;9cdot1 - 1cdot(-2)) = (-4,;14,;11)

Passo 4

Com o vetor normal vec n = (-4,14,11) e um ponto do plano (por exemplo P1), a equação fica:
-4(x - (-3)) + 14(y - 0) + 11(z - 2) = 0
Agora só simplificar:
-4x - 12 + 14y + 11z - 22 = 0
-4x + 14y + 11z - 34 = 0
Podemos multiplicar tudo por -1) para deixar mais “bonito”:
4x - 14y - 11z + 34 = 0

Resposta

[4x - 14y - 11z + 34 = 0]

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