Calcule as seguintes antiderivadas: integral cos (raiztheta) d theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
integral cosl(raizthetar),dtheta
O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais de funções compostas: vamos usar primeiro a técnica de substituição para simplificar o radical e depois integração por partes para resolver o integral resultante.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raiztheta Longrightarrow theta = u^2 e dtheta = 2u,du

Passo 3

Em função de u, a integral vira
integral cosl(raizthetar),dtheta = integral cos(u),l(2u,dur) = 2 integral u,cos(u),du

Passo 4

Para calcular I = integral u,cos(u),du usamos integração por partes. Escolhemos
f = u, f' = du, g' = cos(u),du, g = sin(u)
Então
I = usin(u) - integral 1cdotsin(u),du = usin(u) + cos(u) + C
Multiplicando por 2, obtemos
2integral u,cos(u),du = 2l(usin(u) + cos(u)r) + C

Passo 5

Voltando à variável original theta (lembre que u=raiztheta), a antiderivada fica
2,raiztheta,sinl(raizthetar) +2,cosl(raizthetar) + C

Resposta

boxedintegral cosl(raizthetar),dtheta = 2raiztheta,sinl(raizthetar) +2cosl(raizthetar) + C

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