Calcule as seguintes primitivas: integral cos (2 theta)+sen(4 theta)2 d theta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função
f(theta)=cos(2theta)+sin(4theta)2
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, usando as fórmulas
integral cos(a x),dx = 1asin(a x)+C
e
integral sin(a x),dx = -1acos(a x)+C.

Passo 2

Calculamos primeiramente
integral cos(2theta),dtheta.
Pela fórmula, com a=2, temos
integral cos(2theta),dtheta = 12sin(2theta)

Passo 3

Agora integramos
integral sin(4theta)2,dtheta = 12integral sin(4theta),dtheta
Usando a fórmula com a=4,
integral sin(4theta),dtheta = -14cos(4theta),
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12integral sin(4theta),dtheta = -12cdot14cos(4theta) = -18cos(4theta)

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, a primitiva é
F(theta) = 12sin(2theta) -18cos(4theta) + C

Resposta

boxed,F(theta)=12sin(2theta)-18cos(4theta)+C,

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