Calcule as seguintes primitivas: integral sen(3 theta) cos (3 theta) d theta.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função sin(3theta)cos(3theta). Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, pois percebemos que uma parte da função é a derivada da outra.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = sin(3theta)
Diferenciando, temos
du = 3cos(3theta),dtheta Longrightarrow cos(3theta),dtheta = du3
Substituindo no integral, obtemos
integral sin(3theta)cos(3theta),dtheta = integral u;du3 = 13integral u,du

Passo 3

Agora integramos em u:
13integral u,du = 13,u^22 + C = u^26 + C
Voltando à variável original,
u^26 + C = sin^2(3theta)6 + C

Passo 4

Usando a identidade de ângulo duplo
sin^2(3theta) = 1 - cos(6theta)2,
podemos reescrever a primitiva como
sin^2(3theta)6 = 16cdot1 - cos(6theta)2 = 112 - cos(6theta)12
e, absorvendo a constante, fica
-cos(6theta)12 + C'

Resposta

integral sin(3theta)cos(3theta),dtheta = sin^2(3theta)6 + C ou -cos(6theta)12 + C

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