Quais das transformações abaixo são lineares?
(n) T: M2 times 2(R) longrightarrow M2 times 2(R), T(A) = [ll1 & 1 0 & 1] A[ll2 & 0 1 & 1].

Passo 1

O enunciado define a transformação T: M2times 2(R) to M2times 2(R) por
T(A) = PAQ
onde
P = 1 & 1 [6pt] 0 & 1 e Q = 2 & 0 [6pt] 1 & 1
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar que ela respeita soma de matrizes (aditividade) e multiplicação por escalar (homogeneidade).]

Passo 2

Verificando aditividade, sejam A,Bin M2times2(R). Então
T(A+B)=P,(A+B),Q=P A Q + P B Q = T(A) + T(B)

Passo 3

Verificando homogeneidade, seja lambdainR. Então
T(lambda A)=P,(lambda A),Q=lambda,(P A Q)=lambda,T(A)

Resposta

A transformação T é linear.

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