Calcule as seguintes antiderivadas: integral arcsen(t) dt.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a antiderivada
integral arcsen(t),dt.
O conteúdo principal é integração por partes, para isso precisamos lembrar que
ddtl[arcsen(t)r]=1raiz1 - t^2.

Passo 2

Na técnica de integração por partes usamos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos
u = arcsen(t), dv = dt

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 1raiz1 - t^2,dt, v = integral dv = integral dt = t

Passo 4

Substituindo na fórmula de partes vem
integral arcsen(t),dt = t,arcsen(t) - integral tcdot1raiz1 - t^2,dt

Passo 5

Para avaliar integral traiz1 - t^2,dt, fazemos a substituição
w = 1 - t^2 Longrightarrow dw = -2t,dt Longrightarrow t,dt = -tfrac12,dw
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integral traiz1 - t^2,dt = -tfrac12 integral w^-1/2,dw = -tfrac12 cdot 2,w^1/2 = -raizw = -raiz1 - t^2

Passo 6

Substituindo esse resultado de volta, obtemos
integral arcsen(t),dt = t,arcsen(t) - l(-raiz1 - t^2r) + C = t,arcsen(t) + raiz1 - t^2 + C

Resposta

boxedintegral arcsen(t),dt = t,arcsen(t) + raiz1 - t^2 + C

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