integral x^2 raiz3+2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^2 raiz3 + 2x -x^2 , dx. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição e completação do quadrado. Vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz e achar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: 3 + 2x - x^2. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a transformar uma expressão quadrática em uma forma que seja mais fácil de integrar, especialmente quando está dentro de uma raiz.

Passo 3

Completar o quadrado para -x^2 + 2x + 3 :
Primeiro, reorganizamos os termos:
- x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3
Agora, completamos o quadrado para x^2 - 2x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo de volta:
- (x^2 - 2x) + 3 = -[(x - 1)^2 - 1] + 3 = - (x - 1)^2 + 1 + 3 = - (x - 1)^2 + 4
Então, a expressão dentro da raiz fica:
3 + 2x - x^2 = 4 - (x - 1)^2

Passo 4

Agora nossa integral fica:
integral x^2 raiz4 - (x - 1)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir u = x - 1, então du = dx e x = u + 1. Isso ajuda a centralizar a expressão quadrática dentro da raiz.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral (u + 1)^2 raiz4 - u^2 , du
Expandindo (u + 1)^2:
(u + 1)^2 = u^2 + 2u + 1
Então, a integral fica:
integral (u^2 + 2u + 1) raiz4 - u^2 , du

Passo 6

Agora, vamos separar a integral em três partes:
integral u^2 raiz4 - u^2 , du + 2 integral u raiz4 - u^2 , du + integral raiz4 - u^2 , du
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 7

Começando com integral raiz4 - u^2 , du, que é uma integral padrão que resulta em:
u2 raiz4 - u^2 + 2 arcsin(u2) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Para 2 integral u raiz4 - u^2 , du, usamos a substituição v = 4 - u^2, então dv = -2u , du. Isso simplifica a integral para:
- integral raizv , dv = - 23 v^3/2 + C = - 23 (4 - u^2)^3/2 + C

Passo 9

Agora, a parte mais complicada: integral u^2 raiz4 - u^2 , du. Podemos usar uma substituição trigonométrica, onde u = 2 sin theta, então du = 2 cos theta , dtheta.
Substituindo:
integral (4 sin^2 theta) raiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta = 8 integral sin^2 theta cdot 2 cos^2 theta , dtheta = 16 integral sin^2 theta cos^2 theta , dtheta
Usando identidades trigonométricas para simplificar:
sin^2 theta cos^2 theta = 14 sin^2 2theta = 18 (1 - cos 4theta)
Então, a integral se torna:
16 cdot 18 integral (1 - cos 4theta) , dtheta = 2 theta - 12 sin 4theta + C
Voltando à variável u:
theta = arcsin(u2)
E usando identidades para sin 4theta, podemos expressar tudo em termos de u.

Passo 10

Finalmente, somamos todas as partes integrais e substituímos u = x - 1 de volta para a variável original x. Após simplificar todos os termos, chegamos à resposta final.

Resposta

A integral integral x^2 raiz3 + 2x -x^2 , dx resulta em uma expressão que combina funções trigonométricas e polinomiais, especificamente:
-13 (4 - (x - 1)^2)^3/2 + (x - 1)2 raiz4 - (x - 1)^2 + 2 arcsin(x - 12) + C
onde C é a constante de integração.

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