Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição e completação do quadrado. Vamos precisar manipular a expressão dentro da raiz e achar uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz:
. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a transformar uma expressão quadrática em uma forma que seja mais fácil de integrar, especialmente quando está dentro de uma raiz.
Passo 3
Completar o quadrado para
:
Primeiro, reorganizamos os termos:
Agora, completamos o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Agora nossa integral fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir
, então
e
. Isso ajuda a centralizar a expressão quadrática dentro da raiz.
Passo 5
Substituindo na integral:
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos separar a integral em três partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 7
Começando com
, que é uma integral padrão que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para
, usamos a substituição
, então
. Isso simplifica a integral para:
Passo 9
Agora, a parte mais complicada:
. Podemos usar uma substituição trigonométrica, onde
, então
.
Substituindo:
Usando identidades trigonométricas para simplificar:
Então, a integral se torna:
Voltando à variável
:
E usando identidades para
, podemos expressar tudo em termos de
.
Passo 10
Finalmente, somamos todas as partes integrais e substituímos
de volta para a variável original
. Após simplificar todos os termos, chegamos à resposta final.
Resposta
A integral
resulta em uma expressão que combina funções trigonométricas e polinomiais, especificamente:
onde
é a constante de integração.