Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 1. Isso está relacionado ao cálculo de áreas sob curvas, que faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre técnicas de integração, como substituições trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Podemos reescrever isso como
, o que facilita a visualização da forma da função que estamos integrando.
Passo 3
Agora, para integrar
, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição
. Então,
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para integrar
, usamos uma identidade trigonométrica:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Outra identidade que podemos usar é:
Aplicando isso:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que
, então
.
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 0 a 1 no novo sistema de coordenadas, quando
,
e quando
,
.
Resposta
Após calcular e simplificar, a integral definida de
de 0 a 1 é igual a
.