integral0^1 raizx-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de raizx - x^2 no intervalo de 0 a 1. Isso está relacionado ao cálculo de áreas sob curvas, que faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre técnicas de integração, como substituições trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: raizx - x^2 . Podemos reescrever isso como raizx(1 - x) , o que facilita a visualização da forma da função que estamos integrando.

Passo 3

Agora, para integrar raizx(1 - x) , vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição x = sin^2theta . Então, dx = 2sintheta costheta , dtheta .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral raizsin^2theta (1 - sin^2theta) cdot 2sintheta costheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raizsin^2theta cos^2theta = sintheta costheta
Então, a integral fica:
integral sintheta costheta cdot 2sintheta costheta , dtheta = 2 integral sin^2theta cos^2theta , dtheta

Passo 5

Para integrar sin^2theta cos^2theta , usamos uma identidade trigonométrica:
sin^2theta cos^2theta = (sin(2theta)2)^2 = sin^2(2theta)4
Então, a integral se torna:
2 integral sin^2(2theta)4 , dtheta = 12 integral sin^2(2theta) , dtheta

Passo 6

Outra identidade que podemos usar é:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Aplicando isso:
12 integral 1 - cos(4theta)2 , dtheta = 14 integral (1 - cos(4theta)) , dtheta

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
14 [ theta - sin(4theta)4 ] + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original x . Lembrando que x = sin^2theta , então theta = arcsin(raizx) .

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a 1 no novo sistema de coordenadas, quando x = 0 , theta = 0 e quando x = 1 , theta = pi2 .

Resposta

Após calcular e simplificar, a integral definida de raizx - x^2 de 0 a 1 é igual a pi8 .

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