Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=ln xx^3-2

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função f(x) = ln xx^3 - 2 . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a Regra do Quociente. Precisamos lembrar como derivar logaritmos e potências.

Passo 2

Primeiro, identificamos o numerador e o denominador da nossa função:
  • Numerador (u): ln x
  • Denominador (v): x^3 - 2

Passo 3

Vamos derivar o numerador u = ln x . A derivada de ln x é:
u' = 1x

Passo 4

Agora, derivamos o denominador v = x^3 - 2 . A derivada de x^3 é 3x^2 e a derivada de uma constante é 0. Então:
v' = 3x^2

Passo 5

Aplicamos a Regra do Quociente, que diz:
f'(x) = u'v - uv'v^2
Substituindo u , u' , v e v' :
f'(x) = (1x)(x^3 - 2) - (ln x)(3x^2)(x^3 - 2)^2

Passo 6

Simplificamos a expressão:
f'(x) = x^3 - 2x - 3x^2 ln x(x^3 - 2)^2
Podemos também escrever x^3x = x^2 , então:
f'(x) = x^2 - 2x - 3x^2 ln x(x^3 - 2)^2

Resposta

A derivada de f(x) = ln xx^3 - 2 é:
f'(x) = x^2 - 2x - 3x^2 ln x(x^3 - 2)^2

Exercícios relacionados