Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=(2 x^3sen(5 x)+raizx^2+1)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=gl(2x^3sen(5x)+raizx^2+1gr)^4
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia (para a potência quarta), a regra do quociente (para tfrac2x^3sen(5x)), a derivada da função seno e da raiz quadrada.

Passo 2

Definimos
g(x)=2x^3sen(5x)+raizx^2+1,
de modo que
f(x)=l(g(x)r)^4
Pela regra da cadeia,
f'(x)=4l(g(x)r)^3,g'(x)

Passo 3

Vamos calcular g'(x) em duas partes. Primeiro, seja
h(x)=2x^3sen(5x)
Usando a regra do quociente,
h'(x) =l(2x^3r)',sen(5x) -2x^3,l[sen(5x)r]'sen^2(5x)
Como (2x^3)'=6x^2 e l[sen(5x)r]'=5cos(5x), vem
h'(x) =6x^2,sen(5x)-2x^3cdot5cos(5x) sen^2(5x) =6x^2,sen(5x)-10x^3cos(5x) sen^2(5x)

Passo 4

Agora a segunda parte de g(x),
k(x)=raizx^2+1=(x^2+1)^1/2
A derivada é
k'(x)=12(x^2+1)^-1/2cdot2x =xraizx^2+1

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
g'(x)=h'(x)+k'(x) =6x^2,sen(5x)-10x^3cos(5x) sen^2(5x) +xraizx^2+1

Passo 6

Substituindo em f'(x)=4l(g(x)r)^3g'(x), concluímos
f'(x) =4gl(2x^3sen(5x)+raizx^2+1gr)^3 !!gl[ 6x^2,sen(5x)-10x^3cos(5x) sen^2(5x) +xraizx^2+1 gr]

Resposta

f'(x) =4gl(2x^3sen(5x)+raizx^2+1gr)^3 gl[ 6x^2,sen(5x)-10x^3cos(5x) sen^2(5x) +xraizx^2+1 gr]

Exercícios relacionados