Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=raiz[3]arctg(x)x-3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz[3]arctg(x)x-3
Aqui vamos usar a regra da cadeia para a raiz cúbica e a regra do quociente para a função interna
h(x)=arctg(x)x-3

Passo 2

Definimos
h(x)=arctg(x)x-3, f(x)=l(h(x)r)^!1/3
Pela regra da cadeia,
f'(x)=13,h(x)^-2/3,h'(x)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente em
h(x)=u(x)v(x), u(x)=arctg(x), v(x)=x-3
Temos
u'(x)=11+x^2, v'(x)=1,
e portanto
h'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =x-31+x^2-arctg(x)(x-3)^2

Passo 4

Substituindo h(x) e h'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =13,gl(arctg(x)x-3gr)^-!2/3 cdot x-31+x^2-arctg(x)(x-3)^2

Passo 5

Para simplificar, observe que
gl(arctg(x)x-3gr)^-!2/3 =(x-3)^2/3l(arctg(x)r)^2/3
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f'(x) =13, (x-3)^2/3(arctg(x))^2/3 cdot x-31+x^2-arctg(x)(x-3)^2 =x-31+x^2-arctg(x)3,(x-3)^4/3,(arctg(x))^2/3

Resposta

f'(x) =x-31+x^2-arctg(x) 3,(x-3)^4/3,l(arctg(x)r)^2/3

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