Escolha dois itens e justifique usando definição de derivada, isto é usando limites:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa escolher dois “itens” (que podem ser propriedades ou funções) e justificar, usando a definição de derivada com limites, que a derivada de
é
, onde
. Vamos precisar conhecer a definição de derivada e como aplicá-la a funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso significa que a derivada representa a taxa de variação da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição na função
. Queremos encontrar
, ou seja:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que
. Então, substituímos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver o limite
. Sabemos que esse limite é igual a
. Isso é uma propriedade fundamental das funções exponenciais.
Passo 6
Substituindo o resultado do limite, temos:
Resposta
Portanto, a derivada de
, onde
, é
.