Escolha dois itens e justifique usando definição de derivada, isto é usando limites:
[a^x]^prime=a^x ln (a), a>0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa escolher dois “itens” (que podem ser propriedades ou funções) e justificar, usando a definição de derivada com limites, que a derivada de a^x é a^x ln(a) , onde a > 0 . Vamos precisar conhecer a definição de derivada e como aplicá-la a funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f(x) em um ponto x é o limite:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que a derivada representa a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na função f(x) = a^x . Queremos encontrar f'(x) , ou seja:
f'(x) = limh to 0 a^x + h - a^xh

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que a^x + h = a^x cdot a^h . Então, substituímos:
f'(x) = limh to 0 a^x cdot a^h - a^xh = a^x limh to 0 a^h - 1h

Passo 5

Agora, precisamos resolver o limite limh to 0 a^h - 1h . Sabemos que esse limite é igual a ln(a) . Isso é uma propriedade fundamental das funções exponenciais.

Passo 6

Substituindo o resultado do limite, temos:
f'(x) = a^x cdot ln(a)

Resposta

Portanto, a derivada de a^x , onde a > 0 , é a^x ln(a) .

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