Calcule as seguintes derivadas:
b) d/dx (x/(raiz(x+2)))

Passo 1

Vamos calcular a derivada de . Esse exercício está dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente tratando de derivadas de funções que envolvem raízes e quocientes. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar como . Assim, fica mais fácil aplicar as regras de derivação que conhecemos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto, já que temos a função escrita como o produto de duas funções: e . A regra do produto diz que a derivada de é .

Passo 4

Vamos derivar cada parte separadamente:
  • A derivada de é .
  • Para , usamos a regra da potência e a regra da cadeia. A derivada é .

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na fórmula da regra do produto:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:

Passo 7

Para deixar a expressão mais elegante, podemos fatorar e simplificar:

Resposta

A derivada de é .

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