Sejam f e g duas funções de x, ou seja, f(x) e g(x). Mostre que:
i) d/dx tg(x) = sec^2(x);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a derivada da função tangente de , representada por , é igual a . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de derivação de funções trigonométricas e a regra do quociente.

Passo 2

Começamos lembrando que a tangente de pode ser escrita como o quociente entre o seno e o cosseno de :
Isso nos ajuda a aplicar a regra do quociente para derivar.

Passo 3

A regra do quociente diz que, para funções e , a derivada de é:
Aqui, e .

Passo 4

Calculamos as derivadas de e :
Essas são as derivadas padrão das funções seno e cosseno.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente substituindo , , e na fórmula:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Sabemos, pela identidade trigonométrica fundamental, que:
Então, a expressão fica:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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