Sejam
e
duas funções de
, ou seja,
e
. Mostre que:
i)
;
i)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a derivada da função tangente de
, representada por
, é igual a
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra de derivação de funções trigonométricas e a regra do quociente.
Passo 2
Começamos lembrando que a tangente de
pode ser escrita como o quociente entre o seno e o cosseno de
:
Isso nos ajuda a aplicar a regra do quociente para derivar.
Passo 3
A regra do quociente diz que, para funções
e
, a derivada de
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e
:
Essas são as derivadas padrão das funções seno e cosseno.
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente substituindo
,
,
e
na fórmula:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Sabemos, pela identidade trigonométrica fundamental, que:
Então, a expressão fica:
Resposta
Portanto, mostramos que: