Calcule as seguintes derivadas:
e)
e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
em relação a
. Para isso, vamos usar regras de derivação, especificamente a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Passo 2
Vamos reescrever a função para identificar claramente suas partes. Temos:
Isso significa que temos uma função externa,
, onde
é a função interna.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculamos
onde
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da derivada:
Passo 6
Simplificamos a expressão multiplicando os termos:
Passo 7
Podemos ainda simplificar usando a identidade trigonométrica
. Assim:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: