Calcule as seguintes derivadas:
e) d/dx (sen^2(x/2))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função em relação a x. Para isso, vamos usar regras de derivação, especificamente a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.

Passo 2

Vamos reescrever a função para identificar claramente suas partes. Temos:
Isso significa que temos uma função externa, , onde é a função interna.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a x é:
Aqui, é a derivada de em relação a u, e é a derivada de u em relação a x.

Passo 4

Calculamos onde :

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da derivada:

Passo 6

Simplificamos a expressão multiplicando os termos:

Passo 7

Podemos ainda simplificar usando a identidade trigonométrica . Assim:

Resposta

A derivada de em relação a x é:

Exercícios relacionados