Sendo
, determine
c) Os seus valores de máximos e mínimos locais;
c) Os seus valores de máximos e mínimos locais;
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa descobrir onde ela tem seus valores máximos e mínimos locais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essas pontas altas e baixas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
, que nos mostra a taxa de variação da função. A derivada é essencial para identificar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 3
A função
é uma divisão de duas funções: o numerador
e o denominador
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz:
onde
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada
a zero:
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:
Passo 7
Agora temos dois candidatos a pontos de máximo ou mínimo:
e
. Para saber se cada um é máximo ou mínimo, vamos analisar a derivada segunda ou verificar o comportamento da derivada ao redor desses pontos.
Passo 8
Vamos calcular a segunda derivada
para usar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Passo 9
Agora, avaliamos
nos pontos
e
:
Para
:
Como
, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo local.
Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.
Resposta
A função
possui um máximo local em
e um mínimo local em
.