Sendo g(x) = x / (x^2 + 9), determine
c) Os seus valores de máximos e mínimos locais;

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa descobrir onde ela tem seus valores máximos e mínimos locais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essas pontas altas e baixas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de , que nos mostra a taxa de variação da função. A derivada é essencial para identificar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 3

A função é uma divisão de duas funções: o numerador e o denominador . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz:
onde e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:

Passo 7

Agora temos dois candidatos a pontos de máximo ou mínimo: e . Para saber se cada um é máximo ou mínimo, vamos analisar a derivada segunda ou verificar o comportamento da derivada ao redor desses pontos.

Passo 8

Vamos calcular a segunda derivada para usar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, derivamos :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Passo 9

Agora, avaliamos nos pontos e :
Para :
Como , a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo local.
Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo local.

Resposta

A função possui um máximo local em e um mínimo local em .

Exercícios relacionados