Sejam f e g duas funções de x, ou seja, f(x) e g(x). Mostre que:
m) d/dx(a^x) = a^x * ln(a), a em R, a > 0;

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções, e , mas estamos focando em , onde é um número real positivo ( ). O objetivo é encontrar a derivada de em relação a e mostrar que ela é igual a . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções exponenciais e entender o conceito do logaritmo natural ( ).

Passo 2

Primeiro, lembramos que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No caso de funções exponenciais da forma , onde a base é constante, a derivada não é tão direta como a de , cuja derivada é simplesmente .

Passo 3

Para derivar , podemos reescrever a função usando a base exponencial , já que temos boas propriedades de derivação com . Sabemos que qualquer número positivo pode ser escrito como , então:

Passo 4

Aplicando a propriedade de potências , temos:
Agora, a função está na forma , onde .

Passo 5

Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
Neste caso, , então vamos derivar em relação a .

Passo 6

Derivando em relação a , temos:
Isso porque é uma constante, e a derivada de em relação a é 1.

Passo 7

Substituindo na expressão da derivada, obtemos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

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