Sejam
e
duas funções de
, ou seja,
e
. Mostre que:
m)
;
m)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas funções,
e
, mas estamos focando em
, onde
é um número real positivo (
). O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
e mostrar que ela é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções exponenciais e entender o conceito do logaritmo natural (
).
Passo 2
Primeiro, lembramos que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No caso de funções exponenciais da forma
, onde a base
é constante, a derivada não é tão direta como a de
, cuja derivada é simplesmente
.
Passo 3
Para derivar
, podemos reescrever a função usando a base exponencial
, já que temos boas propriedades de derivação com
. Sabemos que qualquer número positivo
pode ser escrito como
, então:
Passo 4
Aplicando a propriedade de potências
, temos:
Agora, a função está na forma
, onde
.
Passo 5
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
Neste caso,
, então vamos derivar
em relação a
.
Passo 6
Derivando
em relação a
, temos:
Isso porque
é uma constante, e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 7
Substituindo
na expressão da derivada, obtemos:
Lembrando que
, substituímos de volta: