Calcule as seguintes derivadas:
(a) Qual é a derivada da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=3 x^{4}+5 x^{3}+x+7 ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de um polinômio
f(x)=3x^{4}+5x^{3}+x+7
O conteúdo aqui é a derivação de polinômios usando a regra da potência e a derivada de constantes.

Passo 2

Aplicamos a regra da potência em cada termo e lembramos que a derivada de uma constante é zero:
– Para 3x^{4}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}\bigr)=3\cdot4\,x^{4-1}=12x^{3}.
– Para 5x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{3}\bigr)=5\cdot3\,x^{3-1}=15x^{2}.
– Para x:
\frac{d}{dx}(x)=1.
– Para 7:
\frac{d}{dx}(7)=0.

Passo 3

Somamos as derivadas de cada termo para obter a derivada do polinômio:
f'(x)=12x^{3}+15x^{2}+1.

Resposta

f'(x)=12x^{3}+15x^{2}+1.

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